考研-高数复习笔记

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考研数二

高等数学

函数、极限、连续

考试内容：

  • 函数的概念及表示法

  • 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性

  • 复合函数、反函数、分段函数和隐函数

  • 基本初等函数的性质及其图形

  • 初等函数 函数关系的建立

  • 数列极限与函数极限的定义及其性质

  • 函数的左极限和右极限

  • 无穷小量和无穷大量的概念及其关系

  • 无穷小量的性质及无穷小量的比较

  • 极限的四则运算

  • 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则

  • 两个重要极限： \[ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1 \]

    \[ \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e \]

  • 函数连续的概念

  • 函数间断点的类型

  • 初等函数的连续性

  • 闭区间上连续函数的性质

考试要求

  1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系。
  2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.
  3. 理解复合函数及分段函数的概念、了解反函数及隐函数的概念、掌握基本初等函数的性质及其图形、了解初等函数的概念、理解极限的概念、理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.
  4. 掌握极限的性质及四则运算法则.
  5. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.
  6. 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限.
  7. 理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.
  8. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.

函数的性质

  1. 有界性 对任一 \(x \in X\) ，存在正数 M，使得 \(\left | f(x) \right | \leqslant M\) ，那么称为函数 f(x) 在 X 上有界；反之，则无界。 通俗的来说，就是 f(x) 的图像在 y 轴上是不是无限往上或往下延伸。

  2. 单调性 在区间内，图像恒增(>)或恒减(<)；恒不增(≥)或恒不减(≤)。

    判定：在区间 I 内连续且可导，

  3. 奇偶性

  4. 周期性

一元函数微分学

考试内容：

  • 导数和微分的概念
  • 导数的几何意义和物理意义
  • 函数的可导性与连续性之间的关系
  • 平面曲线的切线和法线
  • 导数和微分的四则运算
  • 基本初等函数的导数
  • 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法
  • 高阶导数
  • 一阶微分形式的不变性
  • 微分中值定理洛必达法则
  • 函数单调性的判别
  • 函数的极值
  • 函数图形的凹凸性
  • 拐点及渐近线
  • 函数图形的描绘
  • 函数的最大值与最小值
  • 弧微分
  • 曲率的概念
  • 曲率圆与曲率半径
  • 导数和微分
  • 函数的可导性与连续性
  • 导数的四则运算法则
  • 复合函数的求导法则
  • 基本初等函数的导数公式
  • 微分的四则运算法则
  • 一阶微分形式的不变性
  • 高阶导数的概念
  • 分段函数的导数
  • 隐函数、由参数方程所确定的函数、反函数的导数
  • 罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理、柯西中值定理
  • 洛必达法则
  • 函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性
  • 函数图形的凹凸性
  • 曲率、曲率圆和曲率半径

考试要求

  1. 理解导数和微分的概念，理解导数和微分的关系，理解函数的可导性与连续性之间的关系.
  2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.
  3. 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.
  4. 会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.
  5. 理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西( Cauchy ）中值定理.
  6. 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.
  7. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.
  8. 会用导数判断函数图形的凹凸性(注:在区间(a,b)内，设函数(x)具有二阶导数当 \(f(x)''>0\) 时，f(x)的图形是凹的;当 \(f(x)''<0\) 时，f(X)的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形.
  9. 了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.

一元函数积分学

考试内容：

  • 原函数和不定积分的概念
  • 不定积分的基本性质
  • 基本积分公式
  • 定积分的概念和基本性质
  • 定积分中值定理
  • 积分上限的函数及其导数
  • 牛顿-莱布尼茨公式
  • 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法
  • 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常（广义）积分
  • 定积分的应用

考试要求

  1. 理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念.
  2. 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法.
  3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.
  4. 理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式.
  5. 了解反常积分的概念，了解反常积分收敛的比较判别法，会计算反常积分.
  6. 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值.

多元函数微积分学

考试内容：

  • 多元函数的概念
  • 二元函数的几何意义
  • 二元函数的极限与连续的概念
  • 有界闭区域上，二元连续函数的性质
  • 多元函数的偏导数和全微分
  • 多元复合函数
  • 隐函数的求导法
  • 二阶偏导数
  • 多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值
  • 二重积分的概念、基本性质和计算.

考试要求

  1. 了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义.
  2. 了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质.
  3. 了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数.
  4. 了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并求解一些简单的应用问题.
  5. 理解二重积分的概念，了解二重积分的基本性质，了解二重积分的中值定理，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）.

常微分方程

考试内容：

  • 常微分方程的基本概念
  • 变量可分离的微分方程
  • 齐次微分方程
  • 一阶线性微分方程
  • 可降阶的高阶微分方程
  • 线性微分方程解的性质及解的结构定理
  • 二阶常系数齐次线性微分方程
  • 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程
  • 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程
  • 微分方程的简单应用

考试要求

  1. 了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.
  2. 掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程.
  3. 会用降阶法解下列形式的微分方程：\(y''=f(x)\) 、\(y''=f(x,y')\) 和 \(y''=f(y,y')\).
  4. 理解线性微分方程解的性质及解的结构.
  5. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.
  6. 会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.
  7. 会用微分方程解决一些简单的应用问题.

线性代数

行列式

考试内容：

  • 行列式的概念和基本性质
  • 行列式按行（列）展开定理

考试要求

  1. 了解行列式的概念，掌握行列式的性质.
  2. 会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式.

矩阵

考试内容：

  • 矩阵的概念
  • 矩阵的线性运算
  • 矩阵的乘法
  • 方阵的幂
  • 方阵乘积的行列式
  • 矩阵的转置
  • 逆矩阵的概念和性质
  • 矩阵可逆的充分必要条件
  • 伴随矩阵
  • 矩阵的初等变换
  • 初等矩阵
  • 矩阵的秩
  • 矩阵的等价分块矩阵及其运算

考试要求

  1. 理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质.
  2. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.
  3. 理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件.理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.
  4. 了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.
  5. 了解分块矩阵及其运算.

向量

考试内容：

  • 向量的概念
  • 向量的线性组合和线性表示
  • 向量组的线性相关与线性无关
  • 向量组的极大线性无关组
  • 等价向量组
  • 向量组的秩
  • 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系
  • 向量的内积
  • 线性无关向量组的正交规范化方法

考试要求

  1. 理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念.
  2. 理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.
  3. 了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩.
  4. 了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系.
  5. 了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法.

线性方程组

考试内容：

  • 线性方程组的克莱姆（Cramer）法则
  • 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件
  • 非齐次线性方程组有解的充分必要条件
  • 线性方程组解的性质和解的结构
  • 齐次线性方程组的基础解系和通解
  • 非齐次线性方程组的通解

考试要求

  1. 会用克莱姆法则.
  2. 理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件.
  3. 理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.
  4. 理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念.
  5. 会用初等行变换求解线性方程组.

矩阵的特征值和特征向量

考试内容：

  • 矩阵的特征值和特征向量的概念、性质
  • 相似矩阵的概念及性质
  • 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵
  • 实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵

考试要求

  1. 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量.
  2. 理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.
  3. 掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.

二次型

考试内容：

  • 二次型及其矩阵表示
  • 合同变换与合同矩阵
  • 二次型的秩
  • 惯性定理
  • 二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形
  • 二次型及其矩阵的正定性

考试要求

  1. 掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理.
  2. 掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形.
  3. 理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法

其他

导函数

注：来源于 数学笔记——导数1(导数的基本概念)_我是8位的-CSDN博客_导数的概念

从物理意义上讲，导数就是求解变化率的问题；从几何意义上讲，导数就是求函数在某一点上的切线的斜率。

　　我们熟知的速度公式：v = s/t，这求解的是平均速度，实际上往往需要知道瞬时速度：

\[ v = \frac{ s-s_{0} }{ t-t_{0} } \] 　　当t趋近于t0，即t-t0趋近于0时，得到的就是顺时速度。设Δt=t-t0，s是t的函数s=f(t)，瞬时速度用数学表示就是：

\[ v=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{ f(t)-f(t_{0}) }{ \Delta t } \] 　　从几何意义上讲，导数是函数在某一点处的切线的斜率：

dao_shu_qie_xian 
    直线a与曲线相切于点Q，直线b与曲线相割于点Q和点P。b的斜率是k=(y-y0)/(x-x0)，当b以Q为轴心沿着曲线旋转时，铉长|PQ|趋近于0，即x→x0时，极限存在：

\[ k = \lim_{x \to x_{0}} \frac{ y-y_{0} }{ x-x_{0} } \] 由上述两个问题可以看出，变化率和切线的问题都可以归结为下面的公式： \[ \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \] 　　令Δx = x-x0, Δy = y - y0 = f(x) – f(x0) = f(x0 + Δx) - f(x0)，上面的公式可以写成： \[ \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \text { 或 } \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x} \] 由此得出导数的概念，设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量Δx，且x0+Δx仍在该邻域内时，y取得增量Δy；如果Δy与Δx之比在Δx→0时存在极限，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数，记作f’(x0) ： \[ f'(x_{0}) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ \Delta y}{ \Delta x } = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}) }{\Delta x } \]

例如，1/x求导

根据导数公式，代入f(x) = 1/x

\[ f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}}{\Delta x} \] 　　这就OK了，所以说导数很简单，因为它仅有一个公式。但没完，因为上式没有任何意义，仅仅是看起来更复杂了。如果我们直接观察导数公式，对于所有求导，当Δx→0时，分母都为0，所以必须将导数进一步简化。

\[ \begin{array}{c} \frac{\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x}\left(\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}\right)= \\ \frac{1}{\Delta x}\left(\frac{-\Delta x}{(x+\Delta x) x}\right)=\frac{-1}{x^{2}+x \Delta x} \\ f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{-1}{x^{2}+x \Delta x}=\frac{-1}{x^{2}} \end{array} \] 　　 “求f(x)的导数”或“对f(x)求导”有两种解释，一种是求f(x)的导函数，此时的结果是一个函数；另一种是求f(x)在定义域某一点的导数，此时的结果是将该点的值代入导函数，最终得到一个具体的数值。

基本初等函数的导数

函数 原函数 导函数
常函数（即常数） img （*C*为常数) img
指数函数 img img
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幂函数 img img
对数函数 img img
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正弦函数 img img
余弦函数 img img
正切函数 img img
余切函数 img img
正割函数 img img
余割函数 img img
反正弦函数 img img
反余弦函数 img img
反正切函数 img img
反余切函数 img img
双曲线函数 img img

反函数

一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y) 。反函数x=f -1(y)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

例如，函数 \(y=x^{3}, x \in R\) 的反函数是 \(y=\sqrt[3]{x}, x \in R\)

几何意义：反函数和原函数的图象关于直线y=x对称。 这是因为，如果设(a,b)是y=f(x)的图象上任意一点，即b=f(a)。根据反函数的定义，有 \(a=f^{-1}(b)\) ，即点(b,a)在反函数 \(y=f^{-1}(x)\) 的图象上。而点(a,b)和(b,a)关于直线y=x对称，由(a,b)的任意性可知 \(f(x)\) 和 \(f^{-1}(x)\) 关于y=x对称。

求 \(y=f(x)\) 的反函数 \(y=f^{-1}(x)\) 的步骤：

  1. 由 \(y=f(x)\) 中解出 \(x\) ；
  2. \(x,y\) 互换